Devez-vous croire à un rallye de fin d’année sur les indices (Statistic Remix) ?

En fin d’année dernière, un estimé collègue a publié dans ces colonnes un article traitant d’un possible Rallye de fin d’année.

Le papier n’ayant jamais refusé l’encre (et les pixels d’être noirs) les sujets sur le ” Rallye de fin d’année ” fleurissent dans les magazines économiques comme des roses de Noël à la délectation des lecteurs avides d’oracles.

Comme souvent, aussi pertinentes soient les analyses économiques, politiques, voire géopolitiques présentées, le raisonnement s’achève souvent par quelque chose du genre ” au final, c’est vous qui voyez “.

Mais, en supposant que leurs auteurs aient le courage de prendre position, quel est, avec le recul, la pertinence de leurs recommandations ?

Et, plus fondamentalement, un tel phénomène existe-t-il vraiment ou est-ce juste une légende urbaine exploitée avec la régularité d’un bordereau d’imposition pour vendre un peu plus cher un papier qui, s’il n’était glacé, aurait fini autour de produits de la mer (mollusques et crustacés en cette saison) ?

Amateur de l’étude des biais cognitifs et adepte des statistiques, je vous propose d’étudier le phénomène avec quelques données, deux, trois outils de base et un peu de recul (les vapeurs éthyliques des réveillons s’étant maintenant bien dissipées).

Prenons un indice large : le Standard and Poor’s 500, téléchargeons ses relevés journaliers depuis 50 ans et calculons pour chaque jour sa variation (https://www.investing.com/indices/us-spx-500-historical-data).

On se retrouve en face de 12604 valeurs (environ 252 par ans) dont la moyenne est de +0.0196% et dont la distribution ressemble à ceci:

Première remarque, certaines valeurs extrêmes (-27.73% le 19 oct. 1987, -9.93% le 15 oct. 2008 – ces deux là ayant suffit à créer la légende du mois d’octobre) font légitimement douter de la normalité de la distribution.

Tous les manuels de finance le disent : les marchés sont des animaux à queues épaisses ! Autrement dit, les événements rares (et souvent catastrophiques) s’y produisent plus souvent qu’à leur compte (du moins aux yeux de ceux qui s’imaginent qu’ils devraient suivre une loi Normale – c’est-à-dire la majorité des modèles de risque, ce qui ne lasse pas de surprendre…).

Pour les plus septiques, un test de Shapiro-Wilk (http://www.statskingdom.com/320ShapiroWilk.html) retourne une valeur-p indiquant que vous avez autant de chances de croiser le Pape François avec une planche de surf dans l’ascenseur que de pouvoir utiliser une distribution gaussienne pour juger du risque de vos investissements. Nous y reviendrons.

Revenons à nos Rallyes et regroupons ces variations par mois, puis calculons leur moyenne et leur écart-type. On obtient le tableau suivant :

MoisMoyenneEcart-type
Ensemble0,43%4,42%
Janvier0,70%4,84%
Février0,04%3,92%
Mars1,01%3,60%
Avril1,10%3,64%
Mai0,36%3,54%
Juin-0,05%3,27%
Juillet0,32%4,13%
Août-0,14%4,99%
Septembre-0,89%4,63%
Octobre0,42%6,78%
Novembre0,99%4,46%
Décembre1,19%3,48%

Point amusant, le mois d’octobre est conforme à la moyenne avec une progression de 0.42%. Cela semble contredire ce qui a pu être écrit à son sujet… Certes, son écart-type est large. Il ne faut pas chercher plus loin sa lugubre réputation. A l’inverse, le mois de juin présente la volatilité la plus faible ; malheureusement, sa moyenne est déprimante.

Certains mois sont ” bons “, d’autres sont ” mauvais ” et l’écart-type mesure le piment de l’affaire. Associer à chaque mois une personnalité sur cette base est intellectuellement stimulant : ” Personnellement, j’éviterais septembre “, etc.

Décembre, quand à lui, présente tout à la fois la meilleure moyenne et un écart type plutôt faible. Voilà qui suffit à justifier la naissance du mythe du ” Rallye de fin d’année “, synchronisée avec celle du petit Jésus (c’est à se demander si, comme tant d’autres avant lui, le capitalisme boursier ne s’essaye pas au recyclage des croyances antérieures) ! On va pouvoir écrire des articles et vendre du papier !

Vraiment ?

En matière de statistique, plus l’échantillon est grand, plus les calculs sont fiables.

Pourquoi, au fait ?

L’idée est que plus un type d’événement est variable, plus il faut pouvoir étudier d’événements individuels pour pouvoir en dire quelque chose.

Si on s’intéresse aux retards des trains, la tâche est aisée : il y a beaucoup de trains et leurs retards excèdent rarement quelques heures (événements fréquents, variabilité faible). En un nombre limité de semaines, il est possible de calculer des statistiques précises. Si, par contre, on s’intéresse aux conséquences des tremblements de terre, c’est beaucoup plus difficile : il y a en a, heureusement, beaucoup moins et leurs dégâts vont d’une imperceptible vibration à l’effondrement d’un barrage qui noie une région entière (événements rares, variabilité élevée). Il faudrait des centaines d’années pour obtenir des statistiques fiables avec les mêmes méthodes (ce qui, incidemment, soulève le problème de la disponibilité des données).

Une façon simple d’estimer cette incertitude consiste à calculer ” l’erreur type ” ; elle s’obtient en divisant l’écart type de la mesure par la racine carrée du nombre d’événements. Intuitivement, plus les variations seront faibles ou plus les événements seront nombreux (idéalement les deux), moins l’erreur sera grande et inversement.

Ce nombre s’interprète de la même façon qu’un écart-type, c’est une moyenne d’écart à la moyenne. Mais, contrairement à l’écart-type, il ne dépend pas des événements eux-mêmes, il dépend des mesures dont on dispose. Si on reprend l’exemple des trains, l’erreur-type va décroître rapidement : intuitivement, le nombre de mesures va ” prendre le pas ” sur la variabilité des retards. L’écart-type, lui, va se stabiliser autour d’une valeur (différente de zéro) correspondant à l’écart moyen des retards par rapport à la moyenne des retards.

MoisErreur type
Ensemble0,18%
Janvier0,69%
Février0,55%
Mars0,51%
Avril0,52%
Mai0,50%
Juin0,46%
Juillet0,58%
Août0,71%
Septembre0,65%
Octobre0,96%
Novembre0,63%
Décembre0,49%

Dans le cas des variations du mois de décembre, l’erreur type est de: 0.49%. Or la moyenne de décembre est de 1.19%. Cela signifie que, en moyenne, l’erreur liée à ce qu’on utilise pour calculer la moyenne (les rendements des 50 mois de décembre) représente à elle seule 40% de cette valeur. C’est beaucoup…

Sur ces bases, comment estimer la pertinence d’un investissement début décembre ?

Une façon de faire consiste à calculer l’intervalle de confiance correspondant à un rendement positif ou nul. Malheureusement, ce n’est pas immédiat : la distribution des variations mensuelles ne correspond pas à une loi Normale et l’erreur-type est significative. Il va falloir simuler une distribution par ré-échantillonnage. Pour compliquer les choses, les 23 premiers jours de décembre et les 8 derniers ont des comportements radicalement différents : entre Noël et le jour de l’An il n’y a pas que les confiseurs qui récupèrent…

Il va donc falloir effectuer un ré-échantillonnage mixte, tenant compte des deux populations et de leurs erreurs types respectives.

Je vais essayer de ne pas perdre l’attention de ceux qui sont encore là en entrant trop dans des détails techniques ; disons, en gros, que cela se fait avec un peu de programmation, un tableur et que je me ferai un plaisir de communiquer l’ensemble des calculs à ceux qui le souhaitent !

L’important c’est qu’au final, on arrive à ceci :

Et que cela permet de répondre à la question précédente : en investissant sur le S&P 500 le 1er décembre et en revendant le 31 au soir, vous avez 60,7% de chance d’avoir un retour positif ou nul (les seuils de 95% et 99% étant respectivement à -6.21% et -10.11% – dit autrement, vous avez 95% de chance de ne pas perdre plus de 6.21% et 99% de chance de ne pas perdre plus de 10.11%).

Pas mal.

On pourrait s’arrêter là en concluant par un chaleureux ” au final, c’est vous qui voyez “, avec la satisfaction du devoir accompli (un article de 9000 caractères) et l’assurance de passer de bonnes fêtes de fin d’année !

S’il n’était le mois d’avril…

Parce que, si on fait le même exercice en avril (en sachant que les choses sont plus simples car les jours sont plus homogènes) on obtient les résultats suivants : en investissant sur le S&P 500 le 1er avril et en revendant le 30 au soir, vous avez 59.38% de chance d’avoir un retour positif et les seuils de 95% et 99% sont respectivement de -5.98% et de -9.03%.

Autrement dit, aux approximations de ré-échantillonnage près, que vous investissiez en décembre ou en avril… c’est exactement la même chose.

Vous avez souvent entendu parler du Rallye de fin avril ?

Et, pour ne rien vous cacher, je suis sûr qu’en cherchant un peu, on pourrait aussi trouver un Rallye de Printemps et un rallye de Thanksgiving.

A cette étape, il y a deux façons de voir les choses : soit on considère que, vu les performances exceptionnelles du Rallye de fin d’année, il ne va surtout pas falloir rater celui de Pâques ; soit on se dit, que, si ça se trouve, le Rallye de fin d’année… c’est surtout un moyen de mieux fourrer la dinde en période de Fêtes.

Mais ça, ” au final, c’est vous qui voyez “.

Florent COGNEAUX

Florent COGNEAUX


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