Les Fractales de Mandelbrot appliquées en Eco-Finance, une synthèse.

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Jusqu’aux années de la fin de la décennie 1990, le modèle de Markowitz (1954) et les théories des marchés parfaitement efficients(1960) aux portefeuilles entre diversification sans risque et actifs volatiles s’accordaient avec les cours boursiers linaires, ils suffisaient de les normaliser en pricing Black-Scholes-Merton(1973).

Depuis l’après 1990, les mouvements boursiers sont représentés dans un monde chaotique(1963), fractale(1963), non linéaire, en exponentielle d’échelle de loi actualisée à chaque noeuds de volatilité. Des Turbulences sauvages de Marché.

Les mouvements fractales en range ou hors range de fluctuations correspondent avec les phases historiques de globalisation des économies internationales et les ‘‘3D’’ de la mondialisation (Désintermédiation, Décloisonnement, Dérèglementation) et visibles sur les indices boursiers S&P, DJIA, Russell2000, Nasdaq, CAC40, DAX, Footsie, Nikkei, etc.

fractales de mandelbrot

En se référant aux récents Prix Nobel d’Economie 2013, il existe ‘‘trois grandes écoles’’ contemporaines sur les fractales :
« Ecole de Chicago », IL, USA
M.Friedman, F.Black-M.Scholes-R.Merton, H.Markovitz, B.Malkiel, E.Fama,
L.Hansen, W.Sharpe
Modèle des marchés efficients en continu en Concurrence Pure et Parfaite
« Ecole d’Harvard », MA, USA
L.Bachelier, P.Samuelson, J.Simons, Gordon-Shapiro, I.Fisher, N. N.Taleb
Modèle des gaps discontinus possible en Concurrence monopolistique
« Ecole de Yale », CT, USA
B.Mandelbrot, R.Shiller, F.Modigliani, F.Hayek, J.Schumpeter, R. Dalio
Modèle des fractales complémentaire du modèle d’Harvard. Et le modèle de l’école
de Chicago est irrationnel sur les cours boursiers modernes.

La modélisation de Monte-Carlo corrigé des Fractales avec p= α le Coefficient de Hurst H et (1-p)= 1-α ou (1-p)= 1-H, ou explicitement loi de Lévy L-stable, permet en mathématique probabiliste de démontrer académiquement la différence de ces écoles.

L’exponentielle utilisée en Monte-Carlo est le taux de rendement actualisé en continue des taux d’intérêt r futur ou Cash Flows actualisées en des pay-off futurs actualisés; par rapport à l’actualisation discrète du modèle de Gordon-Shapiro et Miller-Modigliani.

Donc la croissance des pay-off en une probabilité de p= 0.6 donnée indépendante sur un modèle de Monte-Carlo de milliers (5000) de situations de CDO, ABS par exemple normalisés et titrisés en pool de connexion de crédit semblables dit moyennement identiques en ce p= 0.6 par ces calculs de corrélations entre ces 5000 cas similaires.

Si « l’école de Chicago » suffisait et expliquait assez efficacement les périodes de cours boursiers du DJIA en range stable, par exemple de 1814-1834, de 1844-1851, de 1863-1925 ou de 1961-1982 ; « l’école d’Harvard » va expliquer les incohérences et limites de « l’école de Chicago » efficacement des ranges de période de 1789-1818, de 1818-1844,
de 1834-1843, de 1937-1961 ou de 1988-2000 ; et enfin « l’école de Yale » va démontrer davantage les incohérences et limites de « l’école de Chicago » efficacement des ranges de période de 1851-1863, de 1925-1937, de 1982-1988 ou de 2000 à 2014.

Comme l’agrégat masse monétaire des Banque Centrales Nationales, USFed, BCE, Bank of Japan BoJ, Bank of England BoE ou Bank of China BoC, du plus liquide ou moins liquide, M1 serait « l’école de Chicago », M2 serait M1 + « l’école d’Harvard » et M3 serait M2 + « l’école de Yale ».

Pour en revenir à l’illustration de Monte-Carlo et le lien logique avec ce graphique du Dow Jones DJIA, si le modèle de Samuelson, Black-Scholes-Merton, Markowitz, Malkiel, Fama, « l’école de Chicago » détermine une marche aléatoire parfaite (Jeu à Wall Street entre un singe et un pool d’opérateur de marché confirmé en choisissant des stocks de performance) en l’arborescence Monte-Carlo à p= 1/2 et 1-p= 1/2, soit l’indépendance des cours des actifs boursiers en continu.

Avec les Fractales de Mandelbrot.

Si H=α= 1/2 = β, « l’école de Chicago » et « l’école d’Harvard » correspond parfaitement
aux scénarios de Monte-Carlo :
• Calculs différentiels: de surface de densité de population ; le mouvement brownien,
stochastique ; la régularité ds l’irrégularité: l’invariance
→ Fractales auto-affines

Si H=α≠ 1/2 = β, « l’école d’Harvard » correspond avec des gaps discrets discontinue aux
scénarios de Monte-Carlo :
 Endomorphimes, isomorphismes, noyau et surface transposé aux mêmes
caractéristiques; la rugosité: abstraction des dimensions, dim 3, dim 4 ; réduction
de taille sans déformation
→ Fractales similaires

Si H=α≠ 1/2 ≠ β, « l’école de Yale » correspond en discontinue aux scénarios de Monte-
Carlo :
• Ellipse, Garch, Chi-Garch, Cauchy, ARMA, Koch ; aide économétrie: schéma
itératif dans le chaos
Fractales aléatoires et multifractales

Les fractales de Mandelbrot conclue et distingue eux aussi les queues épaisses de distribution normalisées en une loi uniforme (à partir de 96%) à apparition rarissime de 1/1million à 1/1milliard d’années que « l’école d’Harvard » avait déjà réussi aussi à démontrer et imposèrent comme norme académique :

Loi de puissance, suites bronwiens, de Cauchy , de Lévy
• Loi d’échelle, d’économies d’échelles
• Finance de biais de marché, sauts discontinus
• Cycles économiques et politiques browniens
→ Effet de Noé (travail de l’analyste financier et du hedger) & Effet de Joseph
(travail du cambiste, teneur de marché, trader et arbitragiste en Forex)

Nous pouvons retenir en conclusion générale du livre de Benoît Mandelbrot (1924-
2010) le Trading Plan des Fractales de Mandelbrot suivant ci-dessous :
• 1. Les Fractales sont des mouvements turbulents
• 2. Les marchés financiers sont très risqués
• 3. Timing de marché dans de petits intervalles
• 4. Les prix de marché sautent, ils ne glissent pas
• 5. Le temps, les séries temporelles, est flexible
• 6. Les marchés fonctionnent identiquement
• 7. Des Marchés incertains et les bulles inévitables
• 8. Les marchés financiers sont trompeurs, pas de moyenne en or
• 9. Estimer les probabilités de volatilités futures
• 10. La notion de Valeur a une valeur limitée

Dorian CAI

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