Modélisation du cours d’une action

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Le modèle de référence pour la modélisation du cours d’une action reste le modèle de BLACK et SCHOLES (1973). Il a l’avantage d’être un modèle simple, facile à calibrer et à estimer en considérant que la trajectoire des rendements des prix des actifs financiers décrit un mouvement brownien. Mais l’utilisation de ce modèle implique des hypothèses assez restrictives, contredites par les observations empiriques.

Ce modèle repose sur la résolution d’une équation différentielle stochastique, en supposant que le cours d’une action suit un mouvement brownien. Cette équation s’écrit pour tout instant t > 0 :

dS(t)/S(t) = μdt +σdW(t)

Où S(t) est le prix de l’action à la date t, μ la moyenne, σ la volatilité et W est un processus de Wiener généralisé. Pour paramétrer μ et σ, on utilise l’historique du cours de l’action.

En utilisant le lemme d’ITÔ et la condition à l’origine S(0) = S0 , la solution de cette équation s’écrit :

S(t)=S0*exp(μ-σ²/2)t+ σW(t)

Puisque le processus de WIENER suit une loi normale N(0, t )

En effet ce modèle atteint ses limites car la volatilité n’est pas réellement constante et le cours d’une action pas forcément continu.

C’est pourquoi il existe des modèles plus adaptés que l’on appelle des modèles à sauts et qui prennent en compte la non continuité du cours d’une action en utilisant la loi de Poisson. Comme le modèle de Merton ou de Kou.

De plus, on peut utiliser une variance stochastique plutôt qu’une variance constante comme c’est le cas pour le Modèle de Hull et White.

Le modèle de MERTON introduit un saut via un processus de POISSON dans la solution du modèle de BLACK et SCHOLES :

 S(t)=S0*exp((μ-σ²/2)t+ σdW(t)+∑U(k)) (la somme allant de 1 à N(1))

Où : N est un processus de POISSON d’intensité λ . U est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi normale N(0, Ω).

Les processus W , N et U sont mutuellement indépendants.

Grégoire VAUXION

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