Les limites du modèle de Black & Scholes :

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Introduction

Le modèle de Black-Scholes est considéré comme le plus grand succès dans le domaine de la théorie financière. Ce modèle a eu un impact important sur les méthodes utilisées par les traders, tant en terme de valorisation que de stratégies de couverture. Ces travaux constituent aussi un point de départ du fantastique développement de l’ingénierie financière dans les années 80 et 90. Le premier point fort du model réside en la possibilité d’estimer la volatilité d’un actif sous-jacent comme une fonction du prix de l’option et du temps, sans référence directe aux caractéristiques de l’investisseur comme la fonction d’utilité ou le rendement espéré. Sa seconde utilité est liée à son aspect de couverture d’options.

En d’autres termes il s’agit d’une stratégie de trading, appelée « delta neutre », permettant à l’investisseur d’avoir une variation nulle du prix de son portefeuille d’options en ajustant continuellement sa sensibilité aux variations du sous-jacent, le delta, en achetant ou vendant ce dernier. Une perte en option est en fait immédiatement compensée par le gain en action et inversement. Ce modèle, utilisé dans le monde entier, est construit sur quelques hypothèses non réelles à propos du marché. Ces hypothèses sont discutées dans la suite de l’article.

Limites du modèle

  1. La volatilité – une mesure de l’amplitude possible des mouvements d’un stock sur un intervalle de temps infinitésimale – n’est pas toujours constante. Bien que la volatilité puisse être relativement constante à très court terme, elle ne l’est jamais à horizon plus long. La structure par terme de la volatilié caractérise le fait que, sous certaines conditions (relatives à la position du cours du sous-jacent par rapport à la monnaie, et à certaines échéances) la formule de Black & Scholes tend systématiquement à sous-évaluer ou surévaluer les prix des produits dérivés. Ce constat mène à conclure que la volatilité n’est pas constante. En réalité, la volatilité est sensible aux évènements politiques, économiques et financiers ce qui explique en partie qu’elle varie au cours du temps en s’accompagnant souvent d’un phénomène de non stationnarité. Certains modèles d’évaluation d’options avancées substituent la volatilité constante de Black-Scholes avec des estimations provenant de processus stochastiques générés.

  2. L’hypothèse log-normale de l’actif sous-jacent et des rendements associés est également un biais puisque les événements extrêmes, les chocs, ne sont pas pris en compte. En considérant ces événements rares dans la modélisation, on peut alors montrer que le prix des options incluant ces chocs est supérieur aux prix des options évaluées par le modèle de Black & Scholes. Dans ce modèle, les actifs contingents sont donc sous évalués.

  3. Nous ne pouvons pas réellement prédire la direction d’un marché ou d’un actif particulier. Le modèle suppose que les stocks bougent de manière aléatoire (mouvement brownien). Cette marche aléatoire signifie qu’à un moment donné dans le temps, le prix de l’action sous-jacente peut monter ou descendre avec la même probabilité. Ce n’est généralement pas vrai puisque les mouvements de marché sont déterminés par de nombreux facteurs économiques auxquels on ne peut attribuer la même probabilité dans la façon dont ils affectent la tendance des prix des actifs. En outre, dans le modèle, le prix d’une action à la date t +1 est indépendant du prix à la date t , c’est la propriété de martingale du mouvement brownien. Or, il existe une corrélation entre les prix et donc entre les rendements. Si elle n’est pas corrigée dans les données sous-jacentes, la corrélation sérielle masque la volatilité réelle des classes d’actifs et tend à minimiser l’évaluation du risque, ce conduit à une sousévaluation du risque global du portefeuille.

  4. Les taux d’intérêts sont constants et connus, tout comme la volatilité. Le modèle utilise le taux sans risque pour représenter ce taux constant et connu. Dans le monde réel, il n’ya pas de taux sans risque à proprement parler, mais il est possible d’utiliser les bons au Trésor 30 jours du gouvernement américain depuis que le gouvernement américain est réputé être suffisamment solide et crédible. Cependant, ces taux peuvent changer en période de volatilité accrue.

  5. Le sous-jacent ne paye pas de dividendes durant la vie de l’option. En réalité, la plupart des entreprises verse des dividendes à leurs actionnaires. Le modèle initial de Black-Scholes a donc ensuite été ajusté en ce sens. Une façon courante de l’ajustement du modèle consiste à soustraire la valeur actualisée des dividendes futurs au cours de l’action.

  6. Les options considérées dans le modèle sont “Européennes”, i.e qu’elles ne peuvent être exercées qu’à maturité. Or, les options “Américaines” peuvent être exercées à n’importe quel moment au cours de leur vie, caractéristique faisant d’elles des options avec plus de valeur grâce à leur plus grande flexibilité. Le modèle ne permet pas de les valoriser précisément.

  7. Pas de coûts de transactions i.e le modèle suppose qu’il n’y a pas de coûts à l’achat ou à la vente d’options ou du sous-jacent. Ce n’est habituellement pas vrai car les brokers touchent une prime indexée sur les spreads principalement.

  8. Les marchés sont parfaitement liquides et il est possible d’acheter et de vendre à tout moment n’importe quelle quantité d’actif ou d’options.

Ceci est une hypothèse non réelle car les investisseurs sont limités par la quantité d’argent qu’ils peuvent investir, par les politiques de leurs sociétés et par la volonté des vendeurs à vendre.

Conclusion

Nous avons étudié ici les limites du modèle de Black-Scholes en fonction des caractéristiques des rendements financiers, du comportement du marché et de la liquidité des investisseurs. Le mouvement brownien sur lequel est construit le modèle a également été partiellement examiné à la lumière de ses limites dans la modélisation des rendements. Comme la plupart de ces limites sont liées à des aspects fondamentaux du marché, il est nécessaire de trouver des modèles qui tiennent compte de certaines des hypothèses non traitées par Black-Scholes. De nombreux modèles ont été proposés au fil du temps, tous tentent d’imiter les caractéristiques du marché « réel ». Mais chaque aspect du marché ne peut pas être pris en compte dans un modèle donné, comme chaque facteur influant le prix ne peut pas être capturé mathématiquement.

 Stéphane DAHAN

Références
Hull, John – “Options, futures et autres actifs dérivés”
Freedman, – “Brownian motion and diffusion” Springer-Verlag, NY, 2nd Edition
Black, Fisher – Myron, Scholes. 1973. “The Pricing of Options and Corporate
Liabilities”. The Journal of Political Economy, vol. 81, pp. 637-654

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